Модель применения стохастических кооперативных игр для достижения коалиционных соглашений между предприятиями

ПОДЕЛИТЬСЯ С ДРУЗЬЯМИ
Авторы


к.э.н., доцент
Россия, Санкт-Петербургский Государственный Университет
v.holodkova@spbu.ru

Аннотация

Статья посвящена математическим методам анализа потенциального коалиционного взаимодействий участников производственного рынка (на примере рынка легковых автомобилей). Основной задачей статьи является формирование и решение задачи применения моделей стохастических кооперативных игр к реальным проблемам предприятий при их взаимодействии на современном рынке . В работе продемонстрированы преимущества моделей, основывающихся на стохастических кооперативных играх. В том числе, в части возможностей вероятностной оценки возможностей достижения коалиционного соглашения между субъектами рынка в условиях недетерминированных значений их полезностей.

Ключевые слова

теоретико-игровое моделирование производственных рынков, стохастические кооперативные игры, делёж в стохастических кооперативной игре, С–ядро.

Рекомендуемая ссылка

Холодкова Виктория Владимировна
Модель применения стохастических кооперативных игр для достижения коалиционных соглашений между предприятиями// Современные технологии управления. ISSN 2226-9339. — №9 (57). Номер статьи: 5708. Дата публикации: . Режим доступа: http://sovman.ru/article/5708/
На современном этапе экономического развития в силу радикальной перестройки экономических отношений, означающей по существу их выход на качественно иной уровень, предъявляющий новые требования к процессам согласованного взаимодействия и достижения коалиционных соглашений между компаниями, предъявляются и новые требования к процессу принятия решений о необходимости формирования партнёрских объединений или коалиций.

Современные экономические условия таковы, что формирование объединений может происходить в различных сферах экономики, с участием государственного капитала или без участия, при различных масштабах деятельности предприятий и иных условиях. Объединения позволяют компаниям выживать в сложных экономических условиях, ускорять развитие новых продуктов, использовать опыт существующих участников рынка, минимизировать затраты для выхода на новые рынки, выпуска новых продуктов и прочее. Даже в таких областях как совершенствование системы управления возможно создание эффективных объединений. В некоторых случаях объединение компаний является единственной возможностью выжить в условиях жесткой конкуренции. Объединения компаний может носить как формальный (юридический), так и практический характер. Ниже мы в первую очередь будет говорить об объединениях или коалициях компаний¸ которые возникают не формально, а исходя из практических условиях их деятельности, в виде достижения некоторых договоренностей, реализации совместных долгосрочных проектов, использования материально-исследовательской базы друг друга. Последнее время в экономике возникает все больше так ого рода экономических коалиций.

Но формирование таких объединений влечет за собой необходимость анализа закономерностей и правил создания таких объединений в любых отраслях экономики, как связанных с государственным участием, так и не связанных.  Кроме того, для самих участников рынка немаловажным остается вопрос эффективности объединения с той или иной компании, участия в той или иной коалиции.

В этой связи ощутимо возрастает роль математического аппарата, способного адекватно отразить мотивы и причины, стимулирующие различных экономических субъектов (фирмы, государство, кредитные организации и прочие) к кооперативному поведению, равно, как факторы и причины, этому поведению противодействующие. В первую очередь, речь идёт о теории игр.

Заметим, что анализ закономерностей объединения (возникновения эффекта согласованности в действиях) экономических субъектов может производиться в рамках различных классов теоретико-игровых моделей. В качестве примера могут быть приведены т.н. игры сотрудничества, относящиеся к классу стратегических игр [3], [9].

В большинстве случаев задачи теории игр могут применять в совершенно различных областях экономики, как для реализации схем взаимодействия отдельных субъектов экономики, так и целых групп, коалиций. Наиболее распространено применение задач теории игр при реализации проектов государственно-частного партнерства, осуществления совместных инвестиционных проектов, в иных проектах где предполагается возможность участия нескольких игроков, создания коалиций участников. Для решения задач, предполагающих возможность, объединения партнеров по игре были сформулированы кооперативные игры.

В данной работе, однако, в фокусе рассмотрения находятся вопросы, связанные с использование именно кооперативных игр для анализа коалиционного поведения субъектов производственных рынков, в которых предполагается, что участники для усиления влияния или увеличения собственного выигрыша, могут объединять в коалиции.

Заметим, что проблематика применения экономико-математические моделей, основанных на «классических» кооперативных играх с трансферабельной полезностью активно развивается. В качестве примера могут быть приведены работы, связанные с приложением теоретико-игровых кооперативных моделей к задачам исследования отношений частного и государственного партнёрства [13], [12], [10], а также крупных инвестиционных проектов, как с государственным участием, так и без него.

Нельзя не обратить внимания на то, что в подавляющем большинстве научных работ теоретико-игрового плана (возможно, за исключением тех, которые посвящены повторяющимся играм) инвестиционные аспекты экономических аспектов, как правило, игнорируются и рассуждения ведутся в предположении статичного финансового обращения без учета фактора временной неравноценности денег. Разумеется, данная тематика заслуживает отдельного внимания в самостоятельных подробных исследованиях.

В настоящей статье мы также рассмотрим стохастические кооперативные игры в условиях действия предпосылки статичности денежной стоимости во времени.

Среди работ, в которых получила развитие проблематика стохастических кооперативных игр могут быть названы работы A. Charnes и D. Granot, а также ряд публикаций Jeroen Suijs. В первых публикациях определяется, что значения характеристической функции являются случайными величинами, также предполагается двухэтапная процедура построения дележа. В публикациях Jeroen Suijs введено допущение о том, что предпочтения задаются относительно стохастических полезностей.

Достаточно распространенной рыночной ситуацией является наличие на некотором товарном рынке нескольких принципиальных игроков (производителей или продавцов). В зависимости от их поведения на рынке складывается определенная ситуация.

Предположим, на рынке существует три производителя автомобилей, занимающие различные ниши с точки зрения потребительского спроса. Ситуация на российском рынке, в некотором роде соответствует подобной модели [1], [5], [6], [7]. В частности наличие отечественных автомобилей эконом класса, заинтересованность правительства в поддержании этого вида производства, делает такого производителя важным игроком на рынке. Наличие двух других производственных иностранных концернов, можно рассматривать, как упрощение ситуации с большим числом производителей на рынке, которая в тоже время не ограничивает общности исследования и может быть реализована и для большего числа производителей. В данном случае увеличение числа производителей существенно усложнит задачу и лишит ее наглядности для читателя.

Выигрышем данной игры может быть признаны, например, прибыль, доход компаний, возможно также рассмотреть в качестве выигрыша доли рынка. Рассмотрение в качестве выигрыша доли рынка интересно тем, что сводит задачу к определенному классу задач, у которых выигрыш не превышает единицу. Интерпретация и выбор параметра характеризующего выигрыш кооперативной игры, является отдельной сложной задачей.

На начальных (качественных) стадиях исследования вполне разумно выглядят подходы, предполагающие построение характеристической функции на основе показателя приведённого дохода (как доли рынка в денежном выражении) каждого участника.

Построение теоретико-игровой кооперативной модели помимо определения множества игроков (потенциальных участников «большой» коалиции) предполагает определение характеристической функции. Напомним, что характеристическая функция ставит в соответствие любому подмножеству (коалиции) игроков значение полезности, которую может получить сформированная коалиция.

Нельзя не признать, что процесс построения такого «математически безупречного» объекта, как характеристическая функция, на практике сопряжён с целым комплексом принципиальных сложностей. В частности, значительное число коалиций, которые мы должны перебрать при конструировании характеристической функции, являются не реализовавшимися, а лишь потенциальными. Следовательно, при определении их полезностей приходится ограничиваться некоторыми гипотетическими оценками. Кроме того, все получаемые оценки являются скорее экспертными оценками, поскольку в большинстве случаем не могут быть проверены на практике в реальных экономических условиях.

Ещё одной серьёзной проблемой, традиционно возникающей в процессе применения кооперативных игр в той или иной практической области является недетерминированность значений тех экономических показателей, на базе которых строятся характеристические функции данных игр.

Один из возможных путей преодоления данной проблемы связан с переходом от традиционных классических кооперативных игр к стохастическим. Отметим, что термин «стохастическая кооперативная игра» не имеет однозначного общепринятого определения. В частности, его трактовки в работах Петросян, Баранова (2005) [8] или же Сьюз (Suijs, 1999) [11] существенно различаются. В дальнейшем мы будем придерживаться трактовки, предложенной в статье Конюховский (2012) [4].

Далее рассмотрим представление стохастической кооперативной игры для предложенной задачи.

Стохастической кооперативной игрой будем называть объект, определяемый:

(1)  – множество участников ;

(2) характеристической функцией, ставящей в соответствие любому подмножеству множества множества игроков (коалиции) случайные величины (c известными функциями распределения ) имеющие заданные плотности распределения, характеризующие полезности получаемые коалициями (доли рынка, прибыль).

По существу случайная величина  моделирует фактор недетерминированности того выигрыша (полезности), на который может рассчитывать коалиция .

Под дележом в стохастической кооперативной игре будем понимать вектор , удовлетворяющий условиям:

(1)                                 
– стохастический аналог индивидуальной рациональности;

(2)                                       
– стохастический аналог групповой рациональности.

Подчеркнём принципиальное отличие данного подхода к определению понятия «делёж». В отличие от дележа для традиционных детерминированных игр он задаётся для некоторого уровня вероятности реализации .

Аналогом –ядра для стохастических кооперативных игр становится –ядро, т.е. –ядра, реализующееся с вероятностью :

В рамках рассматриваемой игровой модели стохастический аналог –ядра будет определяться условиями:

(1 )

где
,
,
 – квантили случайных величин .

Из чего следует, что любой дележ, принадлежащий  –ядру, даёт любой коалиции долю не меньшую , чем VaR полезности этой коалиции при заданном уровне , т.е. . При этом полезность полной большой коалиции способна с вероятностью  обеспечить данный делёж.

Остановимся более подробно на прикладных аспектах стохастических кооперативных игр.

В первую очередь, это предполагает принятие решения о виде и конкретных параметрах законов распределения случайных полезностей участников игры и их коалиций, т.е.  и .

Для многих практически значимых ситуаций вполне разумным представляется допущение о том, что значения характеристической функции являются случайными величинами, распределёнными по нормальному закону.

В этом случае условия индивидуальной и коалиционной рациональности примут вид:

(2)

(3)

а условие групповой рациональности:

(4)

где  – функция, обратная к функции распределения стандартного нормального распределения.

Как уже говорилось, рассмотрим автомобильный рынок, на котором функционирует три компании-производителя автомобилей, которые стремятся сформировать коалиции для увеличения занимаемой доли рынка в денежном выражении.

Мощности заводов примерно одинаковые, однако, каждый из них имеет профильное производство (направленность на определенный класс потребителей). Один из заводов преимущественно выпускает модели эконом класса, остальные специализируются на семейных и более дорогих моделях, однако, также выпускают небольшой объем эконом моделей. Первый завод исторически имеет существенный объем исследований и разработок в рассматриваемой области автомобилестроения.

Создание попарной коалиции с первым игроком позволит второму и третьему игроку (производителю) выйти на рынок реализации машин эконом класса с минимальными затратами на исследования и разработки, а также с меньшими рисками. Объединение второго и третьего завода позволит снизить расходы на расширения производства, однако уже не так значительно, т.к. в данном случае они просто будут поделены между двумя участниками. Кроме того, такое объединение повысит их риски из-за того, что большая часть рынка эконом автомобилей занята более опытным участником. Создание общей коалиции даст определенные выгоды все участникам (обмен разработками и создание общей стратегии расширения потребительского рынка, разработка стратегического плана развития), но для каждого участника коалиции выигрыш будет меньшим.

На основании вышеизложенного была сформирована матрица полезностей для варианта, когда в качестве выигрыша (полезностей) игроков рассматриваются доли рынка.

Таблица 1.  Характеристическая функция, стохастической кооперативной игры «Взаимодействие компаний-производителей на автомобильном рынке»

Коалиция

Параметры характеристической функции

Ожидаемое значение

Среднеквадратичное отклонение

{1}

1/3

0.05

{2}

1/3

0.05

{3}

1/3

0.1

{1,2}

4/5

0.2

{1,3}

4/5

0.25

{2,3}

2/5

0.3

{1,2,3}

1

0.1

Источник: условно-расчётные данные

Важным свойством концепции –ядра является то, что она гибко связывает факт оспариваемости/неоспариваемости дележей с соответствующим значением вероятности , на котором это ядро реализуется. Из условий (2) – (4) следует, что, выбирая значение , мы «управляем» размерами ядра. С учётом того, что функция  является возрастающей  , если ), то увеличение  означает «уменьшение» объёма (размеров) –ядра, и наоборот. При  стохастическая игра «вырождается» в детерминированную, у которой значениями характеристической функции являются математические ожидания полезностей.

Очевидно, что при достаточно высоких  ядро может оказаться пустым. В этой связи возникает задача нахождения максимального уровня вероятности , при котором существует минимальное непустое –ядро.

Как несложно заметить, детерминированная игра, получаемая из стохастической игры, заданной в табл. 1, при  имеет пустое C–ядро, что соответствует «невозникновению» полной коалиции из игроков–субъектов исследуемого нами рынка.

Однако с учётом недетерминированности условий, в которых они действуют, представляет интерес и оценка вероятности появления «большой» коалиции, состоящей из всех производителей. Результаты решения задачи нахождения –ядра представлены в табл. 2.

Из табл. 2 мы можем получить как оценку вероятности возникновения кооперации всех субъектов, присутствующих на рынке, так и значения соответствующего дележа, т.е. некоторые количественные ориентиры (оценки) для размера их обоснованных претензий на доли автомобильного рынка.

Таблица 2. Параметры Характеристическая функция, стохастической кооперативной игры «Взаимодействие компаний-производителей на автомобильном рынке»

Источник: условно-расчётные данные

По результатам расчетов видно, что оценка доли первого производителя самая высокая и составляет более 0,4 доли рынка, в тоже время доли второго и третьего производителей оценочно равны около 0,3 от доли рыка. В результате решения задачи мы получили, что при создании общей коалиции участников игры, каждый из них получит существенную доли рынка, размер которых будет примерно равным.

Таким образом, полученные результаты показывают, что предложенные модели позволяют (по меньшей мере, на качественном уровне) оценить вероятностные характеристики достижения коалиционных соглашений между игроками на товарных и производственных рынках (в частности, в нашем примере – на автомобильном рынке).

В то же время нельзя не признать, и некоторые слабые стороны предложенной модели стохастической кооперативной игры. Так, поведение покупателя считается статичным и индифферентным по отношению к различным конфигурациям игроков-производителей, что не вполне соответствует объективным экономическим реалиям.

Ещё один фактор «практической пользы» от подобных моделей – результатом их решения могут быть рекомендации менеджменту предприятия при ведении переговоров с потенциальными партнёрами. Дополнительным косвенным доводом в пользу перспективности стохастических кооперативных игр, как исследовательского инструмента процессов кооперации на производственных рынках может служить позитивный опыт их использования в смежных отраслях, например, в анализе государственной политики в медиа-сфере (в том числе в проектах государственно-частного партнерства) [2].


Библиографический список

  1. Автомобильный рынок России: результаты 1 полугодия 2014 г. и перспективы развития. Исследования PwC (http://www.pwc.ru/ru_RU/ru/automotive/assets/automotive-market-results-and-development-2014.pdf).
  2. Кепке К.М., Крупко А.А. Применение методов теории кооперативных игр в исследованиях процессов формирования государственной политики в медиа-сфере // Экономика и современный менеджмент: теория и практика. 2014. — № 43. — С. 162-168.
  3. Конюховский П.В., Малова А.С. Применение методов теории игр в анализе отношений сотрудничества между экономическими субъектами // Вестник Орловского государственного университета. Серия новые гуманитарные исследования. 2012, — № 3 (23). — C. 192-197.
  4. Конюховский П.В. Применение стохастических кооперативных игр при обосновании инвестиционных проектов // Вестник С. Петерб. ун-та. Сер. 5 «Экономика». — 2012. — Выпуск 4 (декабрь). — C. 134-143.
  5. Приказ Минпромторга России № 319 от 23 апреля 2010 года «Стратегия развития автомобильной промышленности Российской Федерации на период до 2020 года».
  6. Прогноз развития автомобильного рынка России до 2030 г. / Служба вице-президента по продажам и маркетингу ОАО «АвтоВаз». М., 2013. 4 с.
  7. Информация с сайта http://www.autostat.ru/.
  8. Петросян Л.А., Баранова Е.М. Кооперативные стохастические игры в стационарных стратегиях // Сборник трудов международной конференции «Устойчивость и процессы управления». СПб., 2005. — T. 1, С. 495-503.
  9. Konyuhovskiy P.V., Malova A.S. Application of stochastic cooperative games in the analysis of the interaction of economic agents.
  10. Konyukhovskiy P.V., Solovyeva M.Y. Stochastic cooperative games as an instrument for modeling of relations of public private partnership // The Fourth International Conference Game Theory and Management. GTM2010. 28–30 June, 2010. St. Petersburg. pp. 99–101.
  11. Suijs J.P.M. Cooperative Decision-Making Under Risk. Boston: Kluwer Academic Publishers. 1999.
  12. Соловьева М.Ю. Теоретико-игровые модели в применении к отношениям государственного и частного партнерства // Применение математики в экономике. СПб. : Изд-во СПбГУ, 2009. — Вып. 17. — С. 225 – 236.
  13. Холодкова В.В. Перспективы реализации государственно-частного партнёрства в России // Менеджмент в России и за рубежом, №6/2010, С. 27-34.